王荣吉占和神吕蒙涉猎数学期望计算

阿高傅 · 发表于 2021-11-11 12:17:33

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本帖最后由阿高傅于 2021-11-12 22:32 编辑

一、王荣吉占
这个问题可以简化为2步完成。
第一步，计算一次猜测猜中的概率q。
第二步，每一次猜测都是一次独立重复试验，因此每次猜测成功的概率是相等的。
因此，最终猜中的均值为以q为首项，q为公比的等比级数的和。
代入等比级数求和公式S=a1/(1-q)。有我们猜中的数学期望E=q/(1-q)

因此我们最终的问题转化为：计算一次猜测猜中的概率q
我们猜测的策略肯定是用概率最大的方式猜测，
比如，如果展示的是K，我们肯定猜小，因为猜小能中的概率是12/13，
比如，如果展示的是6，我们肯定猜大，因为猜大能中的概率是7/13，大于才小的5/13
比如，如果展示的是7，不管我们猜大还是猜小，猜中的概率都是6/13

于是乎可以穷举各种情形出现的概率：
展示的是K或1，概率为2/13，猜中的概率是12/13 ，二者同时发生概率为2/13*12/13 （分布乘法）
展示的是Q或2，概率为2/13，猜中的概率是11/13，二者同时发生概率为2/13*11/13
...
展示的是8或6，概率为2/13，猜中的概率是7/13，二者同时发生概率为2/13*7/13
展示的是7，概率为1/13，猜中的概率是6/13，二者同时发生概率为1/13*6/13

最终概率q为上述各项相加（分类加法），即q=2/13*(7+8+...+12)/13+6/(13*13)=0.71

因此我们猜中的数学期望E=q/(1-q)=0.71/0.29=2.448

由于王荣的技能第一张展示的和最后一张猜错的一定能摸到，
也就是至少能摸2张，因此王荣最终摸牌的数学期望是2+2.448=4.448

以上的计算过程假定了每次猜测是相互独立的，但是实际上每次猜测之间是相互影响的,因此存在理论误差。
参看此贴：王荣吉占概率计算修正

王荣实际的摸牌数学期望应为4.23
参看此2帖
王荣摸牌期望的理论解析计算4.231717
王荣吉占数学期望--程序模拟，顺便求debug

结论：王荣最少能摸2张牌，王荣摸牌的数学期望是4.23。

看到王荣的吉占，很多人想到了甄姬的洛神，甄姬摸牌数学期望是3，洛神比吉占可差远了，
只是因为有些活动场有4阶加成多摸一张，甄姬也是摸4的，就这一点来说，4阶的洛神和3阶的吉占摸牌数相差很小。

摸4张牌，配合一技能有用牌能力，有死亡威慑技。因此王荣是一个很强的武将，如果不考虑打活动场四，五阶没多大意义这个因素，这武将值得祈福价格

二、神吕蒙涉猎
样本空间O(不知道怎么打常用的欧米卡，用英文O代替):展示5张牌总的可能数：4*4*4*4*4=4^5=2^10=1024(2的10次幂，程序员的1024)
即：O=1024

古典概型穷举可能的数目。
设摸牌数为随机变量X。
当X=1时，也就是摸一张牌
也就是5张同花色：只有全黑全红全梅全方4种可能。

当X=2时，也就是摸两张牌
此时只有2种花色

第一张：4种可能
若第二张与第一张不同：3种可能，第三，四、五张必须与前面2张花色相同，均有2种可能
若第二张与第一张相同：1种可能，
若第三张与第一张和第二张不同，3种可能，第四，五张必须与前面3张花色相同，均有2种可能
若第三张与第一张和第二张相同，1种可能，
      若第四张与前面3张不同，3种可能，第五张必须和前面4张花色相同，有2种可能
   若第四张与前面3张相同，1种可能，第五张必须和前面4张花色不同，有3种可能

以上情况求和如下：
4*3*2*2*2+4*1*3*2*2+4*1*1*3*2+4*1*1*1*3=180

按照类似的穷举方法计算X=3和X=4时，相应的可能数
X=3时：可能数为：4*1*1*3*2+ 4*1*3 *2*2+4*1*3 *2*3  +4*3*2*2*2+4*3*2*2*3 +4*3*2*3*3=600
X=4时，可能数为：4*1*3*2*1+4*3*2*2*1+4*3*2*3*1+4*3*2*1*4=240

最后验算一下：4+180+600+240=1024=样本空间O。满足所有可能性数目=样本空间这个必要条件

因此：
P(X=1)=4/1024=0.003906
P(X=2)=180/1024=0.17578
P(X=3)=600/1024=0.5889
P(X=4)=240/1024=0.2343
P(X>2)=0.5889+0.2343>0.81

摸牌的数学期望E(X)=1*4/1024+2*180/1024+3*600/1024+4*240/1024=3.05

结论：神吕蒙涉猎摸牌的数学期望是3.05，摸牌数超过2张的概率比81%略高，几乎没有可能只摸一张牌
另外神吕蒙的涉猎强度是大于甄姬洛神的，洛神期望是3和涉猎相差无几，但是涉猎是5过牌3摸牌牌质量远高于洛神