王荣吉占概率计算修正

阿高傅 · 发表于 2021-11-12 22:07:11

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本帖最后由阿高傅于 2021-11-13 11:30 编辑

我在王荣吉占和神吕蒙涉猎数学期望计算一贴中提供了一种计算吉占期望的算法。前提条件是设定了每次猜测为独立重复试验，事实上这个试验并不是独立重复试验。
主要原因如下：后一次猜测的概率会受到前一次猜测的影响，也就是后一次猜测成功是基于第一次猜测成功的，是一个条件概率

比如：
第一次展示的是K，第一次猜测中的概率是12/13.二者同时发生的概率是1/13*12/13
第二次如果要猜中，必须第一次猜中了。
也就是第一次猜测的时候展示的牌已经确定小于K了。
因此每一个展示的牌的可能性不是1/13了，而是1/12。因此第二次的试验肯定不是和第一次独立的。

因此计算第K次猜中的概率是一个很重要的问题。
第K次太抽象了，我们先简化一下，先计算第2次猜中的概率。

第一张展示K，（如果有第二次猜测的机会，第一次必须猜中，也就是展示1,2,3...,J,Q）
第二张展示Q或2，第二次猜测中的概率为11/13，三者同时发生的概率为：1/13*2/13*11/13
第二张展示J或3，第二次猜测中的概率为10/13，三者同时发生的概率为：1/13*2/13*10/13
...
第二张展示8或6，第二次猜测中的概率为7/13，三者同时发生的概率为：1/13*2/13*7/13
第二张展示7，第二次猜测中的概率为6/13,三者同时发生的概率为：1/13*1/13*6/13
第二张展示1，第二次猜测中的概率为12/13,三者同时发生的概率为：1/13*1/13*12/13

因此第一张展示K，第二次猜测成功的概率是以上各项相加：
为1/13*（2/13*（7+...+11）/13+1/13*6/13+1/13*12/13）=108/13/13/13

第一张展示Q，（如果有第二次猜测的机会，第一次必须猜中，也就是展示1,2,3...,J）
第二张展示J或3，第二次猜测中的概率为10/13，三者同时发生的概率为：1/13*2/13*10/13
...
第二张展示8或6，第二次猜测中的概率为7/13，三者同时发生的概率为：1/13*2/13*7/13
第二张展示7，第二次猜测中的概率为6/13,三者同时发生的概率为：1/13*1/13*6/13
第二张展示2，第二次猜测中的概率为11/13,三者同时发生的概率为：1/13*1/13*11/13
第二张展示1，第二次猜测中的概率为12/13,三者同时发生的概率为：1/13*1/13*12/13

因此第一张展示Q，第二次猜测成功的概率是以上各项相加：
为1/13*（2/13*（7+...+10）/13+1/13*6/13+1/13*11/13+1/13*12/13）=97/13/13/13

第一张展示J，（如果有第二次猜测的机会，第一次必须猜中，也就是展示1,2,3...,10）
第二张展示10或4，第二次猜测中的概率为9/13，三者同时发生的概率为：1/13*2/13*9/13
...
第二张展示8或6，第二次猜测中的概率为7/13，三者同时发生的概率为：1/13*2/13*7/13
第二张展示7，第二次猜测中的概率为6/13,三者同时发生的概率为：1/13*1/13*6/13
第二张展示3，第二次猜测中的概率为10/13,三者同时发生的概率为：1/13*1/13*10/13
第二张展示2，第二次猜测中的概率为11/13,三者同时发生的概率为：1/13*1/13*11/13
第二张展示1，第二次猜测中的概率为12/13,三者同时发生的概率为：1/13*1/13*12/13

因此第一张展示J，第二次猜测成功的概率是以上各项相加：
为1/13*（2/13*（7+...+9）/13+1/13*6/13+1/13*10/13+1/13*11/13+1/13*12/13）=87/13/13/13

依次类推有：
第一张展示10,第二次猜测成功的概率是
1/13*（2/13*（7+8）/13+1/13*6/13+1/13*9/13+1/13*10/13+1/13*11/13+1/13*12/13）=78/13/13/13
第一张展示9,第二次猜测成功的概率是
1/13*（2/13*7/13+1/13*6/13+1/13*8/13+1/13*9/13+1/13*10/13+1/13*11/13+1/13*12/13）=70/13/13/13

第一张展示8,第二次猜测成功的概率是
1/13*（1/13*6/13+1/13*7/13+1/13*8/13+1/13*9/13+1/13*10/13+1/13*11/13+1/13*12/13）=63/13/13/13
第一张展示7,第二次猜测成功的概率是
1/13*（1/13*7/13+1/13*8/13+1/13*9/13+1/13*10/13+1/13*11/13+1/13*12/13）=57/13/13/13

因为第一次展示1和第一次展示K，对于第二次猜测都是对称的，因此二者第二次猜测的概率相等。
因为第一次展示2和第一次展示Q，对于第二次猜测都是对称的，因此二者第二次猜测的概率相等。
...
因为第一次展示6和第一次展示8，对于第二次猜测都是对称的，因此二者第二次猜测的概率相等。

而最终的概率为：(2*（108+97+87+78+70+63）+57)/13/13/13=0.4838

因此第二次猜测成功的概率是0.4838

如果两次猜测是独立重复试验，第二次成功的概率因为0.71*0.71=0.5041>0.4838
由此可证明，假设是独立重复试验是存在理论误差的，不精确的。

那么王荣摸且仅摸3张牌的概率是多少呢？
也就是P（第二次猜错）=P（第一次猜对）-P（第二次猜对）=0.71-0.4838=0.2262.
再对比此贴王荣吉占数学期望--程序模拟，顺便求debug中的模拟程序得到的结果，完全匹配
按照同样的方法，我计算了第三次猜测成果的概率（花费了我3个小时）
p(第三次猜对)=(108,97,87,78,70,63,57)(13,15,17,19,21,23,12)/13^4=0.3299

那么王荣摸且仅摸4张牌的概率是多少呢？
也就是P(第三次猜错)=p(第二次猜对)-p(第三次猜对)=0.4838-0.3299=0.1539
再对比此贴王荣吉占数学期望--程序模拟，顺便求debug中的模拟程序得到的结果，完全匹配
目前猜测：
p(第4次猜对)=(108,97,87,78,70,63,57)（141,145,149,153,157,161,144）/13^5=0.225

那么剩下一个重要问题，第K次猜中的概率是多少,也就是摸牌数的分布列的通项公式，
而且有没有通项公式这也是一个需要探讨的问题。
这些问题对我目前能力来说真的挺麻烦了，我想了很久了，用了很多方法，暂无方案。