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【吉占】王荣摸牌期望的理论解析计算4.231717

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发表于 2021-11-12 20:06:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 孤独尊 于 2021-11-13 05:51 编辑

前面看到@阿高傅 计算中使用独立重复试验模型计算了王荣【吉占】的摸牌期望王荣吉占和神吕蒙涉猎数学期望计算
但与@侵略如火—— 使用蒙特卡洛模拟出的结果并不相符【献图】王荣吉占数学期望--程序模拟,顺便求debug
于是我使用新的数学模型通过理论计算得出了这个概率,并且与模拟结果相符:
王荣【吉占】的摸牌期望为 55592826/24910339 +2 = 4.23171695897033
【前提说明】
1.为了计算及叙述方便,以下计算中的摸牌期望均不计展示的第一张牌和最后猜错的那一张牌。可以理解为计算的是猜对的次数,最终实际摸牌数等于计算结果+2。
2.本计算假设新展示的牌的点数为1~13的概率相等,均为1/13。(实际上有些牌堆点数为2和Q的牌多一张,且场上已经被摸走的牌会影响剩余牌堆的概率分布)
【核心思想】
利用几何分布的期望计算思想(几何分布:在多次成功概率为p的伯努利试验中,试验X次才得到第一次成功)
在第一次试验中,有p的概率直接成功(X=1),剩余(1-p)的概率继续进行第二次试验,并且后续除去第一次试验后的期望应该与第一次试验的期望相同,即有1-p的概率使X=1+E,
E = p*1 + (1-p)*(1+E)
解得 E = 1/p
【实际计算】
设13个待求期望E(1)~E(13),其中E(n)表示如果当前展示的牌的点数为n,则后续猜对次数的数学期望,即条件期望E(x|n)。
令p(n)表示下一张翻出展示的牌点数为n的概率,并假设p(1)=p(2)=p(…)=p(13)=1/13。可以列式:
  • E1 = p1*0 + p2*(1+E2) + p3*(1+E3) + p4*(1+E4) + …… + p13*(1+E13) = (E2+E3+…+E13+12)/13
  • E2 = p1*0 + p2*0 + p3*(1+E3) + p4*(1+E4) + …… + p13*(1+E13) = (E3+…+E13+11)/13
  • E3 = p1*0 + p2*0 + p3*0 + p4*(1+E4) + …… + p13*(1+E13) = (E4+…+E13+10)/13
  • …………
  • E6 = p1*0 + …… + p6*0 + p7*(1+E7) + p8*(1+E8) + …… + p13*(1+E13) = (E7+…+E13+7)/13
  • E7 = p1*(1+E1) + …… + p6*(1+E6) + p7*0 + p8*0 + …… + p13*0 = (E1+…+E6+6)/13 = (E8+…+E13+6)/13
  • E8 = p1*(1+E1) + …… + p6*(1+E6) + p7*(1+E7) + p8*0 + …… + p13*0 = (E1+…+E7+7)/13
  • …………
  • E12= p1*(1+E1) + …… + p11*(1+E11) + p12*0 + p13*0 = (E1+…+E11+11)/13
  • E13= p1*(1+E1) + …… + p11*(1+E11) + p12*(1+E12) + p13*0 = (E1+…+E12+12)/13

联立求解上述13个方程,即可解出13个未知数E1~E13。
使用Wolfram Mathematica求解,代码为
  1. Solve[Table[ e[k] == Total[1 + e/@If[k<7, Range[k+1, 13], Range[1, k - 1]]]/13, {k, 13}], e/@Range[13]]
复制代码
可以解得
E(1) = 72973629/24910339 = 2.92945
E(2) = 65981917/24910339 = 2.64878
E(3) = 59489613/24910339 = 2.38815
E(4) = 53461045/24910339 = 2.14614
E(5) = 47863089/24910339 = 1.92141
E(6) = 42664987/24910339 = 1.71274
E(7) = 37838178/24910339 = 1.51897
E(8) = 42664987/24910339 = 1.71274
E(9) = 47863089/24910339 = 1.92141
E(10)= 53461045/24910339 = 2.14614
E(11)= 59489613/24910339 = 2.38815
E(12)= 65981917/24910339 = 2.64878
E(13)= 72973629/24910339 = 2.92945

所以,总的期望 E(x) = E[E(x|n)] = Σ p(n)*E(n) 为:
E(x) = 55592826/24910339 = 2.23171695897033
故王荣【吉占】总摸牌期望为
2+Ex = 4.23171695897033
wr.png
这个方程组不会解的同学可以看下边的矩阵回忆一下线性代数
jz.png
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舞态生风巧笑嫣然韬略志坚珠纱遮面剑眉星目心悦君兮坚持不懈持之以恒

发表于 2021-11-12 20:09:47 来自手机 | 显示全部楼层
不如步步
  • 欧皇salepejxwe8YD :我只想说,算这么细也敌不过运气爆棚,摸的多都是别人家的荣荣
    2021-11-13 04:36 
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    发表于 2021-11-12 20:17:28 | 显示全部楼层
    牛皮。赞同
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    天下大势,分久必合,合久必分

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    发表于 2021-11-12 20:17:50 来自手机 | 显示全部楼层
    有一说一,强度确实可以
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    发表于 2021-11-12 20:54:42 | 显示全部楼层
    E7那里最后的等号右边的E7删去,应该是1-6和8-13相等。
    • YIPE :膜拜大佬
      2021-11-17 01:31 
    • 孤独尊 :回复lbll: 笔误笔误,已经修改。没想到还有人会看的这么认真仔细,感动
      2021-11-12 21:02 
    • lbll :还好代码是用1-6算的
      2021-11-12 20:55 
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    孤独尊 + 5 精彩精彩,才华横溢!

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    发表于 2021-11-12 21:10:35 | 显示全部楼层
    我滴乖乖,都是何方神圣在玩三国杀啊
    • 周小二 :回复南风知我意c:我一直觉得三国杀玩家藏龙卧虎,比如火树
      2021-11-12 21:59 
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    发表于 2021-11-12 21:50:13 | 显示全部楼层
    鬼鬼 数学系大佬?
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    发表于 2021-11-12 21:59:45 | 显示全部楼层
    大佬太强了
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    发表于 2021-11-12 23:03:21 | 显示全部楼层
    如果翻个13 那么后面就一直选小 如果翻到a那么就一直选大
    • 孤独尊 :回复帅得要交税:每次都是跟上一张牌比较的,不是跟第一张牌比较
      2021-11-12 23:24 
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    发表于 2021-11-12 23:05:16 | 显示全部楼层
    但是如果下一张牌,13个数出现的概率是一样的,那就没啥问题,
    事实是,三国杀的牌堆,它不正常,
    用王荣多试一下,就会发现,8点出现的概率特别高,A,Q,3,4,这些反倒出现的概率低,13个数的概率是不一样的,
    而且这还是在第一副牌堆,没有洗牌的情况下,
    洗个牌,牌堆的结构又会再次发生变化,个别数字的牌出现的概率还会下降
    • 孤独尊 :所以我一开始说明了是在各点数等概率假设下算的。实际的点数概率一直在变且无法估计,不具有计算价值。并且实际结果和这个假设下的结果应该相差极小
      2021-11-13 05:29 
    • 三影忍者 :可能A2QK点,多是装备
      2021-11-13 00:20 
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