123
返回列表 发新帖
查看: 3631|回复: 56

【三国杀的数学】血战长坂坡排名榜选手胜率估计

[复制链接]

9783

积分

904

人气

150

粮饷

Lv.8

Rank: 8Rank: 8

发表于 2018-2-8 22:30:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?立即注册

x
本帖最后由 混沌大仙 于 2018-2-9 10:49 编辑

有些玩家喜欢玩血战长坂坡,因为在该模式下可以体验其他模式下无法体验的双将组合。此模式竞技性较强,每个赛季结束的时候Online会根据玩家的最终排名给与相应的奖励。
最近我注意到这个模式有一个实时的排名榜,上面会有各区前100名的所有玩家的排名,以及总胜场数和12胜次数的数据,于是我就萌生了利用这些数据来估计玩家的胜率的想法。然后我对此进行了一些简单的尝试,并将大致过程和结果与大家分享一下。


【血战长坂坡与胜率估计相关的规则】

根据官方的游戏规则,“玩家每次开始挑战后,获得12胜或3败则自动退场”。 换句话说,每位选手累计失败L场(L=3),或者获胜N场之后(N=12),就将开始新一轮的计数,而之前的胜场数和败场数都清零。 此外,如果达到最大胜场数(N),那么最大胜场数的次数就增加1。


【符号设定和问题表述】

【条件】
我们任意选取一名血战长坂坡选手A。
1、A遵守前面所述的规则;
2、A的胜率恒定,设为p,也就是说,A每场比赛的获胜概率都为p;
3、A的每次挑战都完成了,也就是说,A的每次挑战要么获得了N场胜利,要么获得了L场失败;
4、赛季结束后,A总共胜了T场,A获得M次挑战成功,即在M次挑战中获胜N场。(这里N=12,而T和M的值由排名榜中A的具体值来确定)


【目标】
对A的胜率p进行估计。


【公式推导】

为方便表述,我们将一次挑战结束后,此次挑战的胜场数败场数的组合称为一个“序列”,用S表示。胜n场败l场的序列记为S(n,l)。
根据游戏规则,我们可以将所有序列分为两类:一类是挑战成功的,即获得N场胜利,并且最后一场是获胜的;另一类是挑战失败的,即获得L场失败,并且最后一场是失败的。下面我们对这两种情况下的概率分别进行计算。


挑战成功的序列S(n,l)满足n=N和ln,l为:



挑战失败的序列S(n,l)满足nn,l为:


A获得最大胜场数(N胜)的概率P
N为:


S(n,l)出现次数的期望为Qn,l为:


我们把在挑战成功的轮次所创造的胜场数称为“有效胜场数”,可知,总“有效胜场数”为M
·N;相应的,把在挑战失败的轮次所创造的胜场数称为“无效胜场数”。实际上,总“无效胜场数”也就是所有失败序列的总获胜场数。我们用Ew来标记A的总“无效胜场数”期望,根据前面的公式可以得到


我们将“无效胜场比”定义为无效胜场数与有效胜场数之比,记为Hw,那么Hw=Ew/(M·N)。于是得到


由上可知,Hw可以表示为p、N、L的函数,记为Hw(p,N,L)。因为在游戏中N和L的值是固定的(N=12,L=3),实际上,N、L是常量,于是Hw(p,N,L)也就可以表示为Hw(p)。


根据Hw的定义还可以得到


为了方便后面的讨论,我们定义Re=M·N/T,即有效胜场数与总胜场数之比,并称之为“有效胜场率”。于是以上方程可以改写为

容易看出,以上方程右侧的值是常数,因此通过以上方程,就可以求解得到p的估计值,我们将它记为p_E。


【实例数据】

为了检验本文的计算,这里截选了378区2月8日排名榜前8名的数据,分别进行求解。之所以选排名靠前的玩家的数据,是因为他们的挑战成功次数较多,因而受随机因素的影响更小,这样估计就更为准确。


【计算结果】

因为比较难获得p_E的解析解,所以这里我们求p_E的数值解。我们以排行榜中的第一名(T=337, M=9)为例,我们通过插值获得其Hw(p)函数图形,进而外推求解。


从以上p-Hw函数图我们可以看出,Hw(p)是单调递减函数。它与水平线 Hw=T/(M·N)-1 的交点的横坐标就是p_E,这里p_E的值为0.708,也就是我们对第一名玩家的胜率的估计值。

同理,我们也可以将其他玩家的胜率估计出来,结果如下:








醉饮山林,自是闲暇白云间。笑红尘,总是爱恨贪嗔痴。若问人间逍遥在,风生之谷,客从山来。
回复

使用道具 举报

9783

积分

904

人气

150

粮饷

Lv.8

Rank: 8Rank: 8

 楼主| 发表于 2018-2-8 22:36:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 混沌大仙 于 2018-2-8 22:48 编辑

【分析讨论】

从表中排名3~5以及6~8的前三列的数据可以看出,当挑战成功次数M相同时,总胜场数T越大,其胜率越低。容易理解,这是因为多出了更多的挑战失败的过程中所积累的胜场。类似的,如果用较少的胜场数获得更多的挑战成功次数,那么其胜率更高,这可以从表中排名第2的玩家与排名第3~5的玩家之间的比较得到印证。

通过观察胜率估计与有效胜场率这两列,可以Fa现,胜率估计值越大对应的有效胜场率越高,反之亦然。这可以通过最后一个方程以及p-Hw函数图得到解释。Hw(p)是关于p的单调递减函数,同样Hw也是Re的单调递减函数,因此p与Re互为单调正相关。


为了方便大家观看,这里在上表的基础上加了一组“假想数据”——假想出若干组新的T、M值,根据这些T、M值,分别求出其对应的p_E和Re,从而画出全范围的p_E-Re关系图,如下:


从这张图可以进一步印证p_E与Re之间的单调正相关关系,但不是正比关系。当p_E较小的时候(p_E<0.5),随p_E的变化,Re变化很小;当p_E在0.5~0.7之间的时候,随着p_E的增大,Re增幅会逐渐增大;当p_E在0.7~0.9之间的时候,随着p_E与Re呈近似的线性关系;当p_E>0.9的时候,随着p_E的增大,Re增幅会逐渐减小。

总之,血战长坂坡模式下玩家胜率(p_E)与有效胜场率(Re)之间呈单调正相关,因此只需要比较两位玩家之间的有效胜场率就可以比较他们之间的胜率大小关系。


此外,本文通过估计血战长坂坡模式下排名前列玩家的绝对胜率,还能Fa现该模式下高水平玩家的胜率比身份局中高水平玩家的胜率更高。身份局中玩家的胜率如果不造假,那么其胜率要稳定保持在60%以上也是几乎不可能的,即便此玩家的水平非常高。而在血战长坂坡模式下,60%以上的胜率却不足为怪。这可能是因为在身份局模式下,玩家有多个队友,因此玩家的胜负不仅和玩家自己的水平有关而且与队友的水平有关,而队友是随机的,因此玩家的队友的水平可以看作所有玩家的平均水平,因此高水平玩家的胜率会受到队友的“拖累”而降低。反观1v1模式(包括血战长坂坡模式)下,玩家的胜率只与玩家自己的水平有关(当然还和“运气”有关),因此玩家之间的胜率差距会更加显著。推而广之,我们还可以猜测,国战玩家之间胜率差别比身份局更显著,因为队友更少。

  • 我也说一句

醉饮山林,自是闲暇白云间。笑红尘,总是爱恨贪嗔痴。若问人间逍遥在,风生之谷,客从山来。
支持 反对

使用道具 举报

5万

积分

1万

人气

190

粮饷

「版主」

Rank: 16Rank: 16Rank: 16Rank: 16

舞态生风巧笑嫣然韬略志坚珠纱遮面剑眉星目心悦君兮初出茅庐桃园三杰金璧之才坚持不懈持之以恒荐言献策为人民服务文韬武略高山流水花蔓抖擞特工灵雎制霸天梯一代枭雄结伴而行无尽的巅峰翩翩儒生佳人美眷勾唇嫣然上网的曹丕社区灵雎花笑初妍小权行舟步步带水女仆大乔棉弹心动

发表于 2018-2-8 22:31:37 | 显示全部楼层
大佬概率论学的不错
  • 我也说一句

  • 支持 反对

    使用道具 举报

    1万

    积分

    850

    人气

    248

    粮饷

    Lv.9

    Rank: 9Rank: 9Rank: 9

    舞态生风巧笑嫣然韬略志坚珠纱遮面剑眉星目心悦君兮特工灵雎翩翩儒生佳人美眷勾唇嫣然

    发表于 2018-2-8 22:36:23 | 显示全部楼层
    给大佬膜拜一下
  • 我也说一句

  • 支持 反对

    使用道具 举报

    5075

    积分

    283

    人气

    348

    粮饷

    Lv.8

    Rank: 8Rank: 8

    舞态生风韬略志坚心悦君兮

    发表于 2018-2-8 22:37:24 | 显示全部楼层
    膜拜大佬
  • 我也说一句

  • 支持 反对

    使用道具 举报

    3万

    积分

    1万

    人气

    5581

    粮饷

    Lv.13

    Rank: 13Rank: 13Rank: 13Rank: 13

    舞态生风特工灵雎

    发表于 2018-2-8 22:38:56 | 显示全部楼层
    这个是模仿炉石的赛制吧... 好像炉石现在都不是这种赛制了 爆肝的模式太烦了
  • 我也说一句


  • 自我感动
    支持 反对

    使用道具 举报

    2万

    积分

    5248

    人气

    1516

    粮饷

    Lv.12

    Rank: 12Rank: 12Rank: 12

    发表于 2018-2-9 04:19:40 | 显示全部楼层
    就服这样的数学低·我居然上了教学条·不过被你这样一分析·我这个排第一的还不如后面排名的厉害咯·大写的服·
    • 混沌大仙 :惊现第一! 你的胜率排第二也很高啊,一般人也是达不到70%的胜率的。而且官方排名榜比的不仅是胜率,还比对游戏的热情。
      2018-2-9 10:09 
    • 聚、聚氰胺果奶 :楼主的意思是 冲榜是 天分加勤奋的共同结果。或许你不是最有天分的,但天分+勤奋,你无疑是做到了极致。
      2018-2-9 09:37 
  • 我也说一句

  • 支持 反对

    使用道具 举报

    8325

    积分

    3209

    人气

    381

    粮饷

    Lv.11

    Rank: 11Rank: 11Rank: 11Rank: 11

    巧笑嫣然剑眉星目心悦君兮

    发表于 2018-2-9 07:25:47 来自手机 | 显示全部楼层
    完全没看懂
    • 混沌大仙 :可以只看规则介绍以及最后两段,主要结论都在这里。 里面提到的“有效胜场率”就是12胜的次数×12/总胜场数。
      2018-2-9 10:38 
  • 我也说一句

  • 支持 反对

    使用道具 举报

    1万

    积分

    9418

    人气

    110

    粮饷

    Lv.12

    Rank: 12Rank: 12Rank: 12

    舞态生风巧笑嫣然韬略志坚珠纱遮面剑眉星目心悦君兮六韬之略七步成章八斗高才凤引九雏坚持不懈持之以恒翩翩儒生

    发表于 2018-2-9 08:44:18 来自手机 | 显示全部楼层
    概率不错,虽然看了几行就不想看了
    • 混沌大仙 :对数学没兴趣的话,前面的推导都没必要看,看分析总结的最后两段就行。前面的分析推导是为了加强结论的可靠性的。
      2018-2-9 10:15 
  • 我也说一句

  • 支持 反对

    使用道具 举报

    7万

    积分

    1万

    人气

    3004

    粮饷

    荣誉摸鱼

    舞态生风巧笑嫣然韬略志坚珠纱遮面剑眉星目心悦君兮六韬之略七步成章八斗高才凤引九雏空城绝唱红莲业火炼狱武魂初出茅庐桃园三杰大都督夏日孙策夏日大乔先谢郭嘉单身陆逊真壕雄也坚持不懈持之以恒日久弥坚百战不屈字字珠玑荐言献策犯言直谏恭贺新禧招财进宝年年有余飞黄腾达萌萌貂蝉为人民服务文韬武略桌游志曹婴特工灵雎结伴而行无尽的巅峰非酋之约翩翩儒生佳人美眷勾唇嫣然上网的曹丕花笑初妍小权行舟步步带水女仆祝融执事陆逊棉弹心动

    发表于 2018-2-9 08:52:47 | 显示全部楼层
    看到公式推导那里就看不懂了,决定直接来看结论,发现也看不懂,我是全社区数学最差的。
    • 混沌大仙 :看分析总结的最后两段就行,“有效胜场率”在前文有定义。
      2018-2-9 10:13 
  • 我也说一句

  • 支持 反对

    使用道具 举报

    123
    返回列表 发新帖
    您需要登录后才可以回帖 登录 | 立即注册

    本版积分规则