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本帖最后由 混沌大仙 于 2018-2-9 10:49 编辑
有些玩家喜欢玩血战长坂坡,因为在该模式下可以体验其他模式下无法体验的双将组合。此模式竞技性较强,每个赛季结束的时候Online会根据玩家的最终排名给与相应的奖励。
最近我注意到这个模式有一个实时的排名榜,上面会有各区前100名的所有玩家的排名,以及总胜场数和12胜次数的数据,于是我就萌生了利用这些数据来估计玩家的胜率的想法。然后我对此进行了一些简单的尝试,并将大致过程和结果与大家分享一下。
【血战长坂坡与胜率估计相关的规则】根据官方的游戏规则,“玩家每次开始挑战后,获得12胜或3败则自动退场”。 换句话说,每位选手累计失败L场(L=3),或者获胜N场之后(N=12),就将开始新一轮的计数,而之前的胜场数和败场数都清零。 此外,如果达到最大胜场数(N),那么最大胜场数的次数就增加1。
【符号设定和问题表述】【条件】
我们任意选取一名血战长坂坡选手A。
1、A遵守前面所述的规则;
2、A的胜率恒定,设为p,也就是说,A每场比赛的获胜概率都为p;
3、A的每次挑战都完成了,也就是说,A的每次挑战要么获得了N场胜利,要么获得了L场失败;
4、赛季结束后,A总共胜了T场,A获得M次挑战成功,即在M次挑战中获胜N场。(这里N=12,而T和M的值由排名榜中A的具体值来确定)
【目标】
对A的胜率p进行估计。
【公式推导】为方便表述,我们将一次挑战结束后,此次挑战的胜场数败场数的组合称为一个“序列”,用S表示。胜n场败l场的序列记为S(n,l)。
根据游戏规则,我们可以将所有序列分为两类:一类是挑战成功的,即获得N场胜利,并且最后一场是获胜的;另一类是挑战失败的,即获得L场失败,并且最后一场是失败的。下面我们对这两种情况下的概率分别进行计算。
挑战成功的序列S(n,l)满足n=N和ln,l为:
挑战失败的序列S(n,l)满足nn,l为:
A获得最大胜场数(N胜)的概率PN为:
S(n,l)出现次数的期望为Qn,l为:
我们把在挑战成功的轮次所创造的胜场数称为“有效胜场数”,可知,总“有效胜场数”为M·N;相应的,把在挑战失败的轮次所创造的胜场数称为“无效胜场数”。实际上,总“无效胜场数”也就是所有失败序列的总获胜场数。我们用Ew来标记A的总“无效胜场数”期望,根据前面的公式可以得到
我们将“无效胜场比”定义为无效胜场数与有效胜场数之比,记为Hw,那么Hw=Ew/(M·N)。于是得到
由上可知,Hw可以表示为p、N、L的函数,记为Hw(p,N,L)。因为在游戏中N和L的值是固定的(N=12,L=3),实际上,N、L是常量,于是Hw(p,N,L)也就可以表示为Hw(p)。
根据Hw的定义还可以得到
为了方便后面的讨论,我们定义Re=M·N/T,即有效胜场数与总胜场数之比,并称之为“有效胜场率”。于是以上方程可以改写为 容易看出,以上方程右侧的值是常数,因此通过以上方程,就可以求解得到p的估计值,我们将它记为p_E。
【实例数据】为了检验本文的计算,这里截选了378区2月8日排名榜前8名的数据,分别进行求解。之所以选排名靠前的玩家的数据,是因为他们的挑战成功次数较多,因而受随机因素的影响更小,这样估计就更为准确。
【计算结果】因为比较难获得p_E的解析解,所以这里我们求p_E的数值解。我们以排行榜中的第一名(T=337, M=9)为例,我们通过插值获得其Hw(p)函数图形,进而外推求解。
从以上p-Hw函数图我们可以看出,Hw(p)是单调递减函数。它与水平线 Hw=T/(M·N)-1 的交点的横坐标就是p_E,这里p_E的值为0.708,也就是我们对第一名玩家的胜率的估计值。 同理,我们也可以将其他玩家的胜率估计出来,结果如下:
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我也说一句